浮点数运算的全过程😡

一、 浮点数加减运算的五个步骤

步骤 1：对阶 (Exponent Alignment)

• 目的： 只有当两个数的阶码相同时，它们的尾数才能直接相加减。对阶就是将其中一个数的阶码变得与另一个数相同，并相应地调整其尾数。

• 原则： 小阶向大阶看齐。

  • 因为如果大阶向小阶看齐，尾数需要左移，可能会导致最高有效位丢失，造成严重误差。而小阶向大阶看齐，尾数是右移，丢失的是最低有效位，对精度的影响较小。

步骤 2：尾数求和/求差 (Mantissa Calculation)

• 目的： 对对阶后的两个尾数执行加法或减法运算。

• 操作过程： 将对齐后的两个尾数 Mx​ 和 My′​（或 Mx′​ 和 My​）按照定点数的加减法规则进行运算。减法通常通过加上操作数的补码来实现。

步骤 3：结果规格化 (Normalization)

• 目的： 将运算得到的尾数 Ms​ 转换成规格化形式。

• 操作过程：

  • 右规 (Overflow Handling)： 如果尾数运算结果发生溢出（例如，两个正尾数相加，结果符号位为1），则需要将尾数右移一位，阶码加1。

  • 左规 (Normalization)： 如果尾数运算结果不满足规格化要求（例如，补码 0.0... 或 1.1...），则需要尾数左移一位，阶码减1，此过程可能需要重复多次。

• 例 (续上)：

  • 上一步得到的尾数 Ms​=0.101001 (补码)。

  • 其符号位为0，数值最高位为1，符号位与数值最高位不同。

  • 已经是规格化形式，无需调整。

步骤 4：舍入处理 (Rounding)

• 目的： 在对阶或右规（尾数右移）的过程中，可能会丢失一部分在尾数表示范围之外的低位。为了补偿这种精度损失，需要进行舍入操作。

• 考纲要求掌握的舍入方法：

  1. 0舍1入法 (恒舍/向零舍入, Round toward Zero)： 这是最简单粗暴的方法，直接将多余的位截断。无论多余位是什么，一概舍去。

  2. 四舍五入法 (Round to Nearest)： 这是我们最熟悉的方法。当被舍弃的最高位为1时，就在尾数的末位加1。这种方法简单，但可能会引入微小的正向偏差。

  3. 奇偶舍入法 (Round to Nearest, ties to Even)： 这是 IEEE 754标准默认 的方法，也是考研的重点。

     • 规则： "四舍六入五看齐，五后非零就进一，五后为零看奇偶，五前为奇要进一，五前为偶舍去。"

     • 简化理解：

       • 被舍弃的部分 > 一半，则入。

       • 被舍弃的部分 < 一半，则舍。

       • 被舍弃的部分 = 一半，则看保留部分的最低位，如果为1（奇数），则入；如果为0（偶数），则舍。目的是让最终结果的最低位为0。

步骤 5：溢出判断 (Overflow Detection)

• 目的： 检查最终的运算结果是否超出了机器浮点数能表示的范围。这个溢出指的是阶码溢出，不要与步骤3中的尾数溢出混淆。

• 判断方法：

  • 在规格化和舍入（可能导致尾数再次溢出并右规）之后，检查最终的阶码E。

  • 上溢 (Overflow)： 阶码 E 大于了它能表示的最大值 (例如，IEEE 754单精度中，实际阶码 > 127)。

  • 下溢 (Underflow)： 阶码 E 小于了它能表示的最小值 (例如，IEEE 754单精度中，实际阶码 < -126)。

二、 溢出处理与常考点

1. 两种溢出的辨析 (高频考点)

2. 溢出处理

• 上溢处理： 当发生阶码上溢时，机器会停止运算，进行溢出中断处理。通常将结果置为无穷大(+∞ 或 −∞)。

  • 在IEEE 754中，就是将结果的阶码部分置为全1，尾数部分置为全0。

• 下溢处理：

  • 按零处理： 传统的处理方法是直接将结果视为机器零。这会引入较大误差。

  • 非规格化数处理 (IEEE 754)： 当发生下溢时，结果不直接置为0，而是作为非规格化数（Denormalized Number）处理。这使得数值可以平滑地过渡到0，提高了精度，是“平滑下溢”的核心思想。